{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c साठी सोडवा

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला A विलग करून, A साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3A-13c=-255$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13c जोडा.

$$3A=13c-255$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

13c-255 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

इतर समीकरणामध्ये A साठी \frac{13c}{3}-85 चा विकल्प वापरा, 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

\frac{13c}{3}-85 ला 31 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

\frac{403c}{3} ते -6c जोडा.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2635 जोडा.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{385}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85 मध्ये c साठी \frac{1473}{77} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1473}{77} चा \frac{13}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

-85 ते \frac{6383}{77} जोडा.

$$A=-\frac{162}{77}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे A आणि c घटक बाहेर काढा.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A आणि 31A समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 31 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

सरलीकृत करा.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 93A-403c=-7905 मधून 93A-18c=-540 वजा करा.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

93A ते -93A जोडा. 93A आणि -93A रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-403c+18c=-7905+540$$

-403c ते 18c जोडा.

$$-385c=-7905+540$$

-7905 ते 540 जोडा.

$$-385c=-7365$$

दोन्ही बाजूंना -385 ने विभागा.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180 मध्ये c साठी \frac{1473}{77} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण A साठी थेट सोडवू शकता.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

\frac{1473}{77} ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{8838}{77} जोडा.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

दोन्ही बाजूंना 31 ने विभागा.

$$A=-\frac{162}{77}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$