{l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-15+2y=-41$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 मिळविण्यासाठी -41 आणि 15 जोडा.

$$6x+2y=-26$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 9 ने गुणाकार करा.

$$x-3y-9y=45$$

-12y मिळविण्यासाठी -3y आणि -9y एकत्र करा.

$$x-12y=45$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+2y=-26$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$6x=-2y-26$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

-2y-26 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y-13}{3} चा विकल्प वापरा, x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

-\frac{y}{3} ते -12y जोडा.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{13}{3} जोडा.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{37}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3} मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

-4 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{13}{3} ते \frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-15+2y=-41$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 मिळविण्यासाठी -41 आणि 15 जोडा.

$$6x+2y=-26$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 9 ने गुणाकार करा.

$$x-3y-9y=45$$

-12y मिळविण्यासाठी -3y आणि -9y एकत्र करा.

$$x-12y=45$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-15+2y=-41$$

दोन्ही बाजूंना 15 जोडा.

$$6x+2y=-41+15$$

-26 मिळविण्यासाठी -41 आणि 15 जोडा.

$$6x+2y=-26$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 9 ने गुणाकार करा.

$$x-3y-9y=45$$

-12y मिळविण्यासाठी -3y आणि -9y एकत्र करा.

$$x-12y=45$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

6x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

सरलीकृत करा.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=-26 मधून 6x-72y=270 वजा करा.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+72y=-26-270$$

2y ते 72y जोडा.

$$74y=-26-270$$

-26 ते -270 जोडा.

$$74y=-296$$

दोन्ही बाजूंना 74 ने विभागा.

$$y=-4$$

x-12y=45 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

-4 ला -12 वेळा गुणाकार करा.

$$x+48=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 48 वजा करा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=-4$$