{l}{3/2x+7/3y=1}{1/4x-7/6y=-3/2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 7 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 4 x - 7 / 6 y = - 3 / 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \approx 1.071428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7y}{3} वजा करा.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{7}{3}y+1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}y+1\right)$$

-\frac{7y}{3}+1 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} चा विकल्प वापरा, \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{7y}{18} ते -\frac{7y}{6} जोडा.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{6} वजा करा.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{5}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{14}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{15}{14}$$

x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3} मध्ये y साठी \frac{15}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{14}{9}\times \frac{15}{14}+\frac{2}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{15}{14} चा -\frac{14}{9} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते -\frac{5}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{28}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{28}-\frac{9}{14}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{14}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{3x}{2} आणि \frac{x}{4} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{4} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{3}{2} ने गुणाकार करा.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4} मधून \frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4} वजा करा.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

\frac{3x}{8} ते -\frac{3x}{8} जोडा. \frac{3x}{8} आणि -\frac{3x}{8} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

\frac{7y}{12} ते \frac{7y}{4} जोडा.

$$\frac{7}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{4} ते \frac{9}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{15}{14}$$

\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2} मध्ये y साठी \frac{15}{14} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}=-\frac{3}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{15}{14} चा -\frac{7}{6} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{4} जोडा.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$