{l}{20x+30y=12000}{25x+36y=14700} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 12000 } \\ { 25 x + 36 y = 14700 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=300$$

$$y=200$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$20x+30y=12000,25x+36y=14700$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$20x+30y=12000$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30y वजा करा.

$$20x=-30y+12000$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{20}\left(-30y+12000\right)$$

-30y+12000 ला \frac{1}{20} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+600$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+600 चा विकल्प वापरा, 25x+36y=14700.

$$25\left(-\frac{3}{2}y+600\right)+36y=14700$$

-\frac{3y}{2}+600 ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{75}{2}y+15000+36y=14700$$

-\frac{75y}{2} ते 36y जोडा.

$$-\frac{3}{2}y+15000=14700$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15000 वजा करा.

$$-\frac{3}{2}y=-300$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=200$$

x=-\frac{3}{2}y+600 मध्ये y साठी 200 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

200 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-300+600$$

600 ते -300 जोडा.

$$x=300$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=300,y=200$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$20x+30y=12000,25x+36y=14700$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\25&36\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{20\times 36-30\times 25}&-\frac{30}{20\times 36-30\times 25}\\-\frac{25}{20\times 36-30\times 25}&\frac{20}{20\times 36-30\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5}&1\\\frac{5}{6}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12000\\14700\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{5}\times 12000+14700\\\frac{5}{6}\times 12000-\frac{2}{3}\times 14700\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=300,y=200$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$20x+30y=12000,25x+36y=14700$$

20x आणि 25x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 20 ने गुणाकार करा.

$$25\times 20x+25\times 30y=25\times 12000,20\times 25x+20\times 36y=20\times 14700$$

सरलीकृत करा.

$$500x+750y=300000,500x+720y=294000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 500x+750y=300000 मधून 500x+720y=294000 वजा करा.

$$500x-500x+750y-720y=300000-294000$$

500x ते -500x जोडा. 500x आणि -500x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$750y-720y=300000-294000$$

750y ते -720y जोडा.

$$30y=300000-294000$$

300000 ते -294000 जोडा.

$$30y=6000$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$y=200$$

25x+36y=14700 मध्ये y साठी 200 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$25x+36\times 200=14700$$

200 ला 36 वेळा गुणाकार करा.

$$25x+7200=14700$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7200 वजा करा.

$$25x=7500$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$x=300$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=300,y=200$$