{l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=3.8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2.5x+2.5y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5y}{2} वजा करा.

$$2.5x=-2.5y+17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

-\frac{5y}{2}+17 ला 0.4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+6.8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+6.8 चा विकल्प वापरा, -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

-y+6.8 ला -1.5 वेळा गुणाकार करा.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

\frac{3y}{2} ते -\frac{15y}{2} जोडा.

$$-6y-10.2=-33$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10.2 जोडा.

$$-6y=-22.8$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=3.8$$

x=-y+6.8 मध्ये y साठी 3.8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3.8+6.8$$

3.8 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 6.8 ते -3.8 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=3.8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

\frac{5x}{2} आणि -\frac{3x}{2} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1.5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2.5 ने गुणाकार करा.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3.75x-3.75y=-25.5 मधून -3.75x-18.75y=-82.5 वजा करा.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15x}{4} ते \frac{15x}{4} जोडा. -\frac{15x}{4} आणि \frac{15x}{4} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

-\frac{15y}{4} ते \frac{75y}{4} जोडा.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -25.5 ते 82.5 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$15y=57$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=\frac{19}{5}$$

-1.5x-7.5y=-33 मध्ये y साठी \frac{19}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{19}{5} चा -7.5 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{57}{2} जोडा.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -1.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$