{l}{2y-5x=6}{-x=y+6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 5 x = 6 } \\ { - x = y + 6 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

$$y = -\frac{24}{7} = -3\frac{3}{7} \approx -3.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-x-y=6$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y-5x=6,-y-x=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y-5x=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5x जोडा.

$$2y=5x+6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(5x+6\right)$$

5x+6 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{5}{2}x+3$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{5x}{2}+3 चा विकल्प वापरा, -y-x=6.

$$-\left(\frac{5}{2}x+3\right)-x=6$$

\frac{5x}{2}+3 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{5}{2}x-3-x=6$$

-\frac{5x}{2} ते -x जोडा.

$$-\frac{7}{2}x-3=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-\frac{7}{2}x=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{18}{7}$$

y=\frac{5}{2}x+3 मध्ये x साठी -\frac{18}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{18}{7} चा \frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{45}{7}+3$$

3 ते -\frac{45}{7} जोडा.

$$y=-\frac{24}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{24}{7},x=-\frac{18}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-x-y=6$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y-5x=6,-y-x=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{2\left(-1\right)-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 6-\frac{5}{7}\times 6\\-\frac{1}{7}\times 6-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{24}{7},x=-\frac{18}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$-x-y=6$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y-5x=6,-y-x=6$$

2y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2y-\left(-5x\right)=-6,2\left(-1\right)y+2\left(-1\right)x=2\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$-2y+5x=-6,-2y-2x=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2y+5x=-6 मधून -2y-2x=12 वजा करा.

$$-2y+2y+5x+2x=-6-12$$

-2y ते 2y जोडा. -2y आणि 2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x+2x=-6-12$$

5x ते 2x जोडा.

$$7x=-6-12$$

-6 ते -12 जोडा.

$$7x=-18$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-\frac{18}{7}$$

-y-x=6 मध्ये x साठी -\frac{18}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y-\left(-\frac{18}{7}\right)=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{7} वजा करा.

$$-y=\frac{24}{7}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-\frac{24}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{24}{7},x=-\frac{18}{7}$$