{l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y-3x=-27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$2y=3x-27$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

-27+3x ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-27+3x}{2} चा विकल्प वापरा, 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

\frac{-27+3x}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

\frac{15x}{2} ते 3x जोडा.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{135}{2} जोडा.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{21}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=7$$

y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2} मध्ये x साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

7 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{27}{2} ते \frac{21}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-3,x=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-3,x=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

2y आणि 5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10y-15x=-135 मधून 10y+6x=12 वजा करा.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

10y ते -10y जोडा. 10y आणि -10y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15x-6x=-135-12$$

-15x ते -6x जोडा.

$$-21x=-135-12$$

-135 ते -12 जोडा.

$$-21x=-147$$

दोन्ही बाजूंना -21 ने विभागा.

$$x=7$$

5y+3x=6 मध्ये x साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+3\times 7=6$$

7 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$5y+21=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$5y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-3,x=7$$