{l}{2y=3x-4}{2y=x+1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y-3x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$2y-x=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y-3x=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$2y=3x-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

3x-4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{3x}{2}-2 चा विकल्प वापरा, 2y-x=1.

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

\frac{3x}{2}-2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-4-x=1$$

3x ते -x जोडा.

$$2x-4=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$2x=5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{2}$$

y=\frac{3}{2}x-2 मध्ये x साठी \frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{2} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

-2 ते \frac{15}{4} जोडा.

$$y=\frac{7}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y-3x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$2y-x=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$2y-3x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$2y-x=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2y-3x=-4 मधून 2y-x=1 वजा करा.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

2y ते -2y जोडा. 2y आणि -2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3x+x=-4-1$$

-3x ते x जोडा.

$$-2x=-4-1$$

-4 ते -1 जोडा.

$$-2x=-5$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{2}$$

2y-x=1 मध्ये x साठी \frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{2} जोडा.

$$2y=\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$