{l}{2y=-5x-3}{4x-2=-6y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = - 5 x - 3 } \\ { 4 x - 2 = - 6 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$2y+5x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$4x-2+6y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x+6y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y+5x=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5x वजा करा.

$$2y=-5x-3$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x-3\right)$$

-5x-3 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-5x-3}{2} चा विकल्प वापरा, 6y+4x=2.

$$6\left(-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right)+4x=2$$

\frac{-5x-3}{2} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-15x-9+4x=2$$

-15x ते 4x जोडा.

$$-11x-9=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9 जोडा.

$$-11x=11$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2} मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{5}{2}\left(-1\right)-\frac{3}{2}$$

-1 ला -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{5-3}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{2} ते \frac{5}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$2y+5x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$4x-2+6y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x+6y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{2\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{2\times 4-5\times 6}&\frac{2}{2\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-3\right)+\frac{5}{22}\times 2\\\frac{3}{11}\left(-3\right)-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=1,x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$2y+5x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$4x-2+6y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x+6y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y+5x=-3,6y+4x=2$$

2y आणि 6y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$6\times 2y+6\times 5x=6\left(-3\right),2\times 6y+2\times 4x=2\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$12y+30x=-18,12y+8x=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12y+30x=-18 मधून 12y+8x=4 वजा करा.

$$12y-12y+30x-8x=-18-4$$

12y ते -12y जोडा. 12y आणि -12y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30x-8x=-18-4$$

30x ते -8x जोडा.

$$22x=-18-4$$

-18 ते -4 जोडा.

$$22x=-22$$

दोन्ही बाजूंना 22 ने विभागा.

$$x=-1$$

6y+4x=2 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$6y+4\left(-1\right)=2$$

-1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$6y=6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=-1$$