{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 साठी सोडवा

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x_{1} विलग करून, x_{1} साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3x_{2} वजा करा.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

-3x_{2}+7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x_{1} साठी \frac{-3x_{2}+7}{2} चा विकल्प वापरा, 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

\frac{-3x_{2}+7}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-6x_{2} ते -4x_{2} जोडा.

$$-10x_{2}+14=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$-10x_{2}=-20$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} मध्ये x_{2} साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x_{1} साठी थेट सोडवू शकता.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

2 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

\frac{7}{2} ते -3 जोडा.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x_{1} आणि x_{2} घटक बाहेर काढा.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} आणि 4x_{1} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

सरलीकृत करा.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x_{1}+12x_{2}=28 मधून 8x_{1}-8x_{2}=-12 वजा करा.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{1} ते -8x_{1} जोडा. 8x_{1} आणि -8x_{1} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

12x_{2} ते 8x_{2} जोडा.

$$20x_{2}=28+12$$

28 ते 12 जोडा.

$$20x_{2}=40$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6 मध्ये x_{2} साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x_{1} साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

2 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$4x_{1}-8=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$4x_{1}=2$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$