{l}{2x-y=13}{-4x-6y=-18} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 4 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$2x=y+13$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

y+13 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{13+y}{2} चा विकल्प वापरा, -4x-6y=-18.

$$-4\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-6y=-18$$

\frac{13+y}{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y-26-6y=-18$$

-2y ते -6y जोडा.

$$-8y-26=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 26 जोडा.

$$-8y=8$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{13}{2}$$

-1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-1+13}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{2} ते -\frac{1}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{16}\left(-18\right)\\-\frac{1}{4}\times 13-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

2x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 2x-4\left(-1\right)y=-4\times 13,2\left(-4\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-8x+4y=-52,-8x-12y=-36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -8x+4y=-52 मधून -8x-12y=-36 वजा करा.

$$-8x+8x+4y+12y=-52+36$$

-8x ते 8x जोडा. -8x आणि 8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+12y=-52+36$$

4y ते 12y जोडा.

$$16y=-52+36$$

-52 ते 36 जोडा.

$$16y=-16$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$y=-1$$

-4x-6y=-18 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x-6\left(-1\right)=-18$$

-1 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-4x+6=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-4x=-24$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-1$$