{l}{2x-5y=4}{3x+2y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-5y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$2x=5y+4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

5y+4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{2}+2 चा विकल्प वापरा, 3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

\frac{5y}{2}+2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

\frac{15y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{2}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2 मध्ये y साठी -\frac{2}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{2}{19} चा \frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

2 ते -\frac{5}{19} जोडा.

$$x=\frac{33}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-15y=12 मधून 6x+4y=10 वजा करा.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y-4y=12-10$$

-15y ते -4y जोडा.

$$-19y=12-10$$

12 ते -10 जोडा.

$$-19y=2$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=-\frac{2}{19}$$

3x+2y=5 मध्ये y साठी -\frac{2}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

-\frac{2}{19} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{19} जोडा.

$$3x=\frac{99}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{33}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$