{l}{2x-5y=10}{4x+y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-5y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$2x=5y+10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

10+5y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 5+\frac{5y}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+y=5.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

5+\frac{5y}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$10y+20+y=5$$

10y ते y जोडा.

$$11y+20=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20 वजा करा.

$$11y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5 मध्ये y साठी -\frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{15}{11} चा \frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

5 ते -\frac{75}{22} जोडा.

$$x=\frac{35}{22}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-20y=40 मधून 8x+2y=10 वजा करा.

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20y-2y=40-10$$

-20y ते -2y जोडा.

$$-22y=40-10$$

40 ते -10 जोडा.

$$-22y=30$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=-\frac{15}{11}$$

4x+y=5 मध्ये y साठी -\frac{15}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{11} जोडा.

$$4x=\frac{70}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{35}{22}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$