{l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-4y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$2x=4y-2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

4y-2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=2y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y-1 चा विकल्प वापरा, 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

2y-1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-3+2y=3$$

6y ते 2y जोडा.

$$8y-3=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$8y=6$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{4}$$

x=2y-1 मध्ये y साठी \frac{3}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

\frac{3}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

-1 ते \frac{3}{2} जोडा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-12y=-6 मधून 6x+4y=6 वजा करा.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y-4y=-6-6$$

-12y ते -4y जोडा.

$$-16y=-6-6$$

-6 ते -6 जोडा.

$$-16y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{4}$$

3x+2y=3 मध्ये y साठी \frac{3}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

\frac{3}{4} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{2} वजा करा.

$$3x=\frac{3}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$