{l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 10 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$17y+3x=-11$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

3y+10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}+5 चा विकल्प वापरा, 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

\frac{3y}{2}+5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

\frac{9y}{2} ते 17y जोडा.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{43}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{52}{43}$$

x=\frac{3}{2}y+5 मध्ये y साठी -\frac{52}{43} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{52}{43} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

5 ते -\frac{78}{43} जोडा.

$$x=\frac{137}{43}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 10 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$17y+3x=-11$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 10 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-3y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$17y+3x=-11$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-9y=30 मधून 6x+34y=-22 वजा करा.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-34y=30+22$$

-9y ते -34y जोडा.

$$-43y=30+22$$

30 ते 22 जोडा.

$$-43y=52$$

दोन्ही बाजूंना -43 ने विभागा.

$$y=-\frac{52}{43}$$

3x+17y=-11 मध्ये y साठी -\frac{52}{43} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

-\frac{52}{43} ला 17 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{884}{43} जोडा.

$$3x=\frac{411}{43}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{137}{43}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$