{l}{2x-2y=12}{5x-2y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-2y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$2x=2y+12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

12+2y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=y+6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+6 चा विकल्प वापरा, 5x-2y=9.

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

y+6 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$5y+30-2y=9$$

5y ते -2y जोडा.

$$3y+30=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30 वजा करा.

$$3y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-7$$

x=y+6 मध्ये y साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-7+6$$

6 ते -7 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-2y=12 मधून 5x-2y=9 वजा करा.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

-2y ते 2y जोडा. -2y आणि 2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-5x=12-9$$

2x ते -5x जोडा.

$$-3x=12-9$$

12 ते -9 जोडा.

$$-3x=3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-1$$

5x-2y=9 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5-2y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$-2y=14$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-7$$