{l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8y-4=9x+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$8y-4-9x=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8y-9x=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8y-9x=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

-4y+\frac{5}{2} ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, -9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

-2y+\frac{5}{4} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

18y ते 8y जोडा.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{45}{4} जोडा.

$$26y=\frac{81}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$y=\frac{81}{104}$$

x=-2y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी \frac{81}{104} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

\frac{81}{104} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{81}{52} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{4}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8y-4=9x+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$8y-4-9x=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8y-9x=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8y-9x=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8y-4=9x+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$8y-4-9x=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8y-9x=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8y-9x=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

2x आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -18x-36y=-\frac{45}{2} मधून -18x+16y=18 वजा करा.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

-18x ते 18x जोडा. -18x आणि 18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

-36y ते -16y जोडा.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2} ते -18 जोडा.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -52 ने विभागा.

$$y=\frac{81}{104}$$

-9x+8y=9 मध्ये y साठी \frac{81}{104} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

\frac{81}{104} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{81}{13} वजा करा.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=-\frac{4}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$