{l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y-7=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7 जोडा.

$$2x+y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

-y+7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+7}{2} चा विकल्प वापरा, 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

\frac{-y+7}{2} ला 17 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-\frac{17y}{2} ते -11y जोडा.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

\frac{119}{2} ते -8 जोडा.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{103}{2} वजा करा.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{39}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} मध्ये y साठी \frac{103}{39} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{103}{39} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{2} ते -\frac{103}{78} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{85}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x आणि 17x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 17 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 34x+17y-119=0 मधून 34x-22y-16=0 वजा करा.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

34x ते -34x जोडा. 34x आणि -34x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$17y+22y-119+16=0$$

17y ते 22y जोडा.

$$39y-119+16=0$$

-119 ते 16 जोडा.

$$39y-103=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 103 जोडा.

$$39y=103$$

दोन्ही बाजूंना 39 ने विभागा.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0 मध्ये y साठी \frac{103}{39} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

\frac{103}{39} ला -11 वेळा गुणाकार करा.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-\frac{1133}{39} ते -8 जोडा.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1445}{39} जोडा.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$x=\frac{85}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$