{l}{2x+y=6}{6x-y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

-y+6 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+3 चा विकल्प वापरा, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

-\frac{y}{2}+3 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+18-y=2$$

-3y ते -y जोडा.

$$-4y+18=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-4y=-16$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{2}y+3 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

4 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2+3$$

3 ते -2 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

2x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+6y=36 मधून 12x-2y=4 वजा करा.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+2y=36-4$$

6y ते 2y जोडा.

$$8y=36-4$$

36 ते -4 जोडा.

$$8y=32$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=4$$

6x-y=2 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$6x=6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=4$$