{l}{2x+y=36}{x-y=5.25} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 36 } \\ { x - y = 5.25 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=13.75$$

$$y=8.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+36$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+36\right)$$

-y+36 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+18$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+18 चा विकल्प वापरा, x-y=5.25.

$$-\frac{1}{2}y+18-y=5.25$$

-\frac{y}{2} ते -y जोडा.

$$-\frac{3}{2}y+18=5.25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-\frac{3}{2}y=-12.75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{17}{2}$$

x=-\frac{1}{2}y+18 मध्ये y साठी \frac{17}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{17}{2}+18$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{17}{2} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{17}{4}+18$$

18 ते -\frac{17}{4} जोडा.

$$x=\frac{55}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 36+\frac{1}{3}\times 5.25\\\frac{1}{3}\times 36-\frac{2}{3}\times 5.25\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{4}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=36,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5.25$$

सरलीकृत करा.

$$2x+y=36,2x-2y=10.5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+y=36 मधून 2x-2y=10.5 वजा करा.

$$2x-2x+y+2y=36-10.5$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+2y=36-10.5$$

y ते 2y जोडा.

$$3y=36-10.5$$

36 ते -10.5 जोडा.

$$3y=25.5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{17}{2}$$

x-y=5.25 मध्ये y साठी \frac{17}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\frac{17}{2}=5.25$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{17}{2} जोडा.

$$x=\frac{55}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$