{l}{2x+y=18}{3x+2y=28} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=8$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+18$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

-y+18 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+9 चा विकल्प वापरा, 3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

-\frac{y}{2}+9 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

-\frac{3y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 27 वजा करा.

$$\frac{1}{2}y=1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+9 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

2 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+9$$

9 ते -1 जोडा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=8,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

सरलीकृत करा.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+3y=54 मधून 6x+4y=56 वजा करा.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-4y=54-56$$

3y ते -4y जोडा.

$$-y=54-56$$

54 ते -56 जोडा.

$$-y=-2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=2$$

3x+2y=28 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times 2=28$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+4=28$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$3x=24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=2$$