{l}{2x+y=12}{3x-2y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

-y+12 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+6 चा विकल्प वापरा, 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

-\frac{y}{2}+6 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

-\frac{3y}{2} ते -2y जोडा.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{20}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+6 मध्ये y साठी \frac{20}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{20}{7} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

6 ते -\frac{10}{7} जोडा.

$$x=\frac{32}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+3y=36 मधून 6x-4y=16 वजा करा.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y+4y=36-16$$

3y ते 4y जोडा.

$$7y=36-16$$

36 ते -16 जोडा.

$$7y=20$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{20}{7}$$

3x-2y=8 मध्ये y साठी \frac{20}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

\frac{20}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{40}{7} जोडा.

$$3x=\frac{96}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{32}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$