{l}{2x+y=10}{x-3y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=10,x-3y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

-y+10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+5 चा विकल्प वापरा, x-3y=12.

$$-\frac{1}{2}y+5-3y=12$$

-\frac{y}{2} ते -3y जोडा.

$$-\frac{7}{2}y+5=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-\frac{7}{2}y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+5 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+5$$

-2 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+5$$

5 ते 1 जोडा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=10,x-3y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-3\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-1}&\frac{2}{2\left(-3\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 12\\\frac{1}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=10,x-3y=12$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=10,2x+2\left(-3\right)y=2\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$2x+y=10,2x-6y=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+y=10 मधून 2x-6y=24 वजा करा.

$$2x-2x+y+6y=10-24$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+6y=10-24$$

y ते 6y जोडा.

$$7y=10-24$$

10 ते -24 जोडा.

$$7y=-14$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=-2$$

x-3y=12 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3\left(-2\right)=12$$

-2 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x+6=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-2$$