{l}{2x+y=-4}{-5x-y=13} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 4 } \\ { - 5 x - y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y-4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-4\right)$$

-y-4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}-2 चा विकल्प वापरा, -5x-y=13.

$$-5\left(-\frac{1}{2}y-2\right)-y=13$$

-\frac{y}{2}-2 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{2}y+10-y=13$$

\frac{5y}{2} ते -y जोडा.

$$\frac{3}{2}y+10=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$\frac{3}{2}y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y-2 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-2$$

2 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1-2$$

-2 ते -1 जोडा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 13\\\frac{5}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-3,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=-4,-5x-y=13$$

2x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-5\times 2x-5y=-5\left(-4\right),2\left(-5\right)x+2\left(-1\right)y=2\times 13$$

सरलीकृत करा.

$$-10x-5y=20,-10x-2y=26$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x-5y=20 मधून -10x-2y=26 वजा करा.

$$-10x+10x-5y+2y=20-26$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y+2y=20-26$$

-5y ते 2y जोडा.

$$-3y=20-26$$

20 ते -26 जोडा.

$$-3y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=2$$

-5x-y=13 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-2=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-5x=15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-3,y=2$$