{l}{2x+y=-19}{x+4y=11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 19 } \\ { x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{87}{7} = -12\frac{3}{7} \approx -12.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y-19$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-19\right)$$

-y-19 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y-19}{2} चा विकल्प वापरा, x+4y=11.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}+4y=11$$

-\frac{y}{2} ते 4y जोडा.

$$\frac{7}{2}y-\frac{19}{2}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{19}{2} जोडा.

$$\frac{7}{2}y=\frac{41}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{41}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2} मध्ये y साठी \frac{41}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{41}{7}-\frac{19}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{41}{7} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{41}{14}-\frac{19}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{19}{2} ते -\frac{41}{14} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{87}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-1}&-\frac{1}{2\times 4-1}\\-\frac{1}{2\times 4-1}&\frac{2}{2\times 4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-19\right)-\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-19\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=-19,2x+2\times 4y=2\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$2x+y=-19,2x+8y=22$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+y=-19 मधून 2x+8y=22 वजा करा.

$$2x-2x+y-8y=-19-22$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-8y=-19-22$$

y ते -8y जोडा.

$$-7y=-19-22$$

-19 ते -22 जोडा.

$$-7y=-41$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{41}{7}$$

x+4y=11 मध्ये y साठी \frac{41}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+4\times \frac{41}{7}=11$$

\frac{41}{7} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{164}{7}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{164}{7} वजा करा.

$$x=-\frac{87}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$