{l}{2x+8y=64}{7x+y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+8y=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$2x=-8y+64$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

-8y+64 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-4y+32$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y+32 चा विकल्प वापरा, 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

-4y+32 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-28y+224+y=8$$

-28y ते y जोडा.

$$-27y+224=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 224 वजा करा.

$$-27y=-216$$

दोन्ही बाजूंना -27 ने विभागा.

$$y=8$$

x=-4y+32 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\times 8+32$$

8 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-32+32$$

32 ते -32 जोडा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

2x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 14x+56y=448 मधून 14x+2y=16 वजा करा.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

14x ते -14x जोडा. 14x आणि -14x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$56y-2y=448-16$$

56y ते -2y जोडा.

$$54y=448-16$$

448 ते -16 जोडा.

$$54y=432$$

दोन्ही बाजूंना 54 ने विभागा.

$$y=8$$

7x+y=8 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+8=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$7x=0$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=8$$