{l}{2x+6y=11}{5x-7y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 11 } \\ { 5 x - 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{137}{44} = 3\frac{5}{44} \approx 3.113636364$$

$$y=\frac{35}{44}\approx 0.795454545$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+6y=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$2x=-6y+11$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+11\right)$$

-6y+11 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-3y+\frac{11}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -3y+\frac{11}{2} चा विकल्प वापरा, 5x-7y=10.

$$5\left(-3y+\frac{11}{2}\right)-7y=10$$

-3y+\frac{11}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y+\frac{55}{2}-7y=10$$

-15y ते -7y जोडा.

$$-22y+\frac{55}{2}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{55}{2} वजा करा.

$$-22y=-\frac{35}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=\frac{35}{44}$$

x=-3y+\frac{11}{2} मध्ये y साठी \frac{35}{44} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3\times \frac{35}{44}+\frac{11}{2}$$

\frac{35}{44} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{105}{44}+\frac{11}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{2} ते -\frac{105}{44} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{137}{44}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-6\times 5}&-\frac{6}{2\left(-7\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-6\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}\times 11+\frac{3}{22}\times 10\\\frac{5}{44}\times 11-\frac{1}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{44}\\\frac{35}{44}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2x+5\times 6y=5\times 11,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$10x+30y=55,10x-14y=20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+30y=55 मधून 10x-14y=20 वजा करा.

$$10x-10x+30y+14y=55-20$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30y+14y=55-20$$

30y ते 14y जोडा.

$$44y=55-20$$

55 ते -20 जोडा.

$$44y=35$$

दोन्ही बाजूंना 44 ने विभागा.

$$y=\frac{35}{44}$$

5x-7y=10 मध्ये y साठी \frac{35}{44} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-7\times \frac{35}{44}=10$$

\frac{35}{44} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{245}{44}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{245}{44} जोडा.

$$5x=\frac{685}{44}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{137}{44}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$