{l}{2x+5y=7}{-3x+y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y+7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+7}{2} चा विकल्प वापरा, -3x+y=15.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

\frac{-5y+7}{2} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

\frac{15y}{2} ते y जोडा.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{21}{2} जोडा.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{17}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

3 ला -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{2} ते -\frac{15}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-4,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

2x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6x-15y=-21 मधून -6x+2y=30 वजा करा.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

-6x ते 6x जोडा. -6x आणि 6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y-2y=-21-30$$

-15y ते -2y जोडा.

$$-17y=-21-30$$

-21 ते -30 जोडा.

$$-17y=-51$$

दोन्ही बाजूंना -17 ने विभागा.

$$y=3$$

-3x+y=15 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+3=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-3x=12$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=3$$