{l}{2x+5y=2}{3x+3y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

$$y=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y+2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+2\right)$$

-5y+2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}+1 चा विकल्प वापरा, 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+1\right)+3y=1$$

-\frac{5y}{2}+1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{2}y+3+3y=1$$

-\frac{15y}{2} ते 3y जोडा.

$$-\frac{9}{2}y+3=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$-\frac{9}{2}y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{4}{9}$$

x=-\frac{5}{2}y+1 मध्ये y साठी \frac{4}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{4}{9}+1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{4}{9} चा -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{10}{9}+1$$

1 ते -\frac{10}{9} जोडा.

$$x=-\frac{1}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-5\times 3}&\frac{2}{2\times 3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{9}\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\\\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=2,3x+3y=1$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 2,2\times 3x+2\times 3y=2$$

सरलीकृत करा.

$$6x+15y=6,6x+6y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+15y=6 मधून 6x+6y=2 वजा करा.

$$6x-6x+15y-6y=6-2$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y-6y=6-2$$

15y ते -6y जोडा.

$$9y=6-2$$

6 ते -2 जोडा.

$$9y=4$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{9}$$

3x+3y=1 मध्ये y साठी \frac{4}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+3\times \frac{4}{9}=1$$

\frac{4}{9} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{4}{3}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$3x=-\frac{1}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{9},y=\frac{4}{9}$$