{l}{2x+4y=17}{3x+3y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 17 } \\ { 3 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+4y=17,3x+3y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+4y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$2x=-4y+17$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+17\right)$$

-4y+17 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+\frac{17}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+\frac{17}{2} चा विकल्प वापरा, 3x+3y=9.

$$3\left(-2y+\frac{17}{2}\right)+3y=9$$

-2y+\frac{17}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y+\frac{51}{2}+3y=9$$

-6y ते 3y जोडा.

$$-3y+\frac{51}{2}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{51}{2} वजा करा.

$$-3y=-\frac{33}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{2}$$

x=-2y+\frac{17}{2} मध्ये y साठी \frac{11}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times \frac{11}{2}+\frac{17}{2}$$

\frac{11}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-11+\frac{17}{2}$$

\frac{17}{2} ते -11 जोडा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{11}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+4y=17,3x+3y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 3-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-4\times 3}&\frac{2}{2\times 3-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 17+\frac{2}{3}\times 9\\\frac{1}{2}\times 17-\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{11}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+4y=17,3x+3y=9$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 17,2\times 3x+2\times 3y=2\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$6x+12y=51,6x+6y=18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+12y=51 मधून 6x+6y=18 वजा करा.

$$6x-6x+12y-6y=51-18$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-6y=51-18$$

12y ते -6y जोडा.

$$6y=51-18$$

51 ते -18 जोडा.

$$6y=33$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{2}$$

3x+3y=9 मध्ये y साठी \frac{11}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+3\times \frac{11}{2}=9$$

\frac{11}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{33}{2}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{2} वजा करा.

$$3x=-\frac{15}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{11}{2}$$