{l}{2x+3y=8}{3x+3y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 3 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

-3y+8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+4 चा विकल्प वापरा, 3x+3y=9.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+3y=9$$

-\frac{3y}{2}+4 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{2}y+12+3y=9$$

-\frac{9y}{2} ते 3y जोडा.

$$-\frac{3}{2}y+12=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$-\frac{3}{2}y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{2}y+4 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+4$$

2 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-3+4$$

4 ते -3 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 3-3\times 3}&\frac{2}{2\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8+9\\8-\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=8,3x+3y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+3y=8 मधून 3x+3y=9 वजा करा.

$$2x-3x+3y-3y=8-9$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-3x=8-9$$

2x ते -3x जोडा.

$$-x=8-9$$

8 ते -9 जोडा.

$$-x=-1$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=1$$

3x+3y=9 मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3+3y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$3y=6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$