{l}{2x+3y=7}{6x+y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 6 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} = 1.4375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

-3y+7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+7}{2} चा विकल्प वापरा, 6x+y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=10$$

\frac{-3y+7}{2} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-9y+21+y=10$$

-9y ते y जोडा.

$$-8y+21=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 21 वजा करा.

$$-8y=-11$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{8}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2} मध्ये y साठी \frac{11}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{7}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{8} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{33}{16}+\frac{7}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{2} ते -\frac{33}{16} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{23}{16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 6}&-\frac{3}{2-3\times 6}\\-\frac{6}{2-3\times 6}&\frac{2}{2-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 7+\frac{3}{16}\times 10\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=7,6x+y=10$$

2x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 7,2\times 6x+2y=2\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$12x+18y=42,12x+2y=20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+18y=42 मधून 12x+2y=20 वजा करा.

$$12x-12x+18y-2y=42-20$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y-2y=42-20$$

18y ते -2y जोडा.

$$16y=42-20$$

42 ते -20 जोडा.

$$16y=22$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{8}$$

6x+y=10 मध्ये y साठी \frac{11}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+\frac{11}{8}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{11}{8} वजा करा.

$$6x=\frac{69}{8}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{23}{16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{23}{16},y=\frac{11}{8}$$