{l}{2x+3y=5}{3x+2y=70} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=40$$

$$y=-25$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+5}{2} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=70$$

\frac{-3y+5}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=70$$

-\frac{9y}{2} ते 2y जोडा.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{125}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-25$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी -25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-25\right)+\frac{5}{2}$$

-25 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{75+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते \frac{75}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=-25$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 70\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-25\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=40,y=-25$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=5,3x+2y=70$$

2x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 70$$

सरलीकृत करा.

$$6x+9y=15,6x+4y=140$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+9y=15 मधून 6x+4y=140 वजा करा.

$$6x-6x+9y-4y=15-140$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y-4y=15-140$$

9y ते -4y जोडा.

$$5y=15-140$$

15 ते -140 जोडा.

$$5y=-125$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-25$$

3x+2y=70 मध्ये y साठी -25 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\left(-25\right)=70$$

-25 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-50=70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 50 जोडा.

$$3x=120$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=-25$$