{l}{2x+3y=2}{5y+2x=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 5 y + 2 x = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

-3y+2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+1 चा विकल्प वापरा, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+5y=1$$

-\frac{3y}{2}+1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+2+5y=1$$

-3y ते 5y जोडा.

$$2y+2=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$2y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-\frac{3}{2}y+1 मध्ये y साठी -\frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)+1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1}{2} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{3}{4}+1$$

1 ते \frac{3}{4} जोडा.

$$x=\frac{7}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 2-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=2,2x+5y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+3y=2 मधून 2x+5y=1 वजा करा.

$$2x-2x+3y-5y=2-1$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-5y=2-1$$

3y ते -5y जोडा.

$$-2y=2-1$$

2 ते -1 जोडा.

$$-2y=1$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{2}$$

2x+5y=1 मध्ये y साठी -\frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

-\frac{1}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-\frac{5}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{2} जोडा.

$$2x=\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{7}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{2}$$