{l}{2n-3m=1}{m+n=3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

n, m साठी सोडवा

$$n=2$$

$$m=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला n विलग करून, n साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2n-3m=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3m जोडा.

$$2n=3m+1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

3m+1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये n साठी \frac{3m+1}{2} चा विकल्प वापरा, n+m=3.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

\frac{3m}{2} ते m जोडा.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{2} वजा करा.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$m=1$$

n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} मध्ये m साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण n साठी थेट सोडवू शकता.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$n=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$n=2,m=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे n आणि m घटक बाहेर काढा.

$$n=2,m=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n आणि n समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2n-3m=1 मधून 2n+2m=6 वजा करा.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

2n ते -2n जोडा. 2n आणि -2n रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3m-2m=1-6$$

-3m ते -2m जोडा.

$$-5m=1-6$$

1 ते -6 जोडा.

$$-5m=-5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$m=1$$

n+m=3 मध्ये m साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण n साठी थेट सोडवू शकता.

$$n+1=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$n=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$n=2,m=1$$