{l}{2m-3n=-1}{m+n=3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2m-3n=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3n जोडा.

$$2m=3n-1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

3n-1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी \frac{3n-1}{2} चा विकल्प वापरा, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

\frac{3n}{2} ते n जोडा.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{2} जोडा.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=\frac{7}{5}$$

m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2} मध्ये n साठी \frac{7}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{7}{5} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{2} ते \frac{21}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$m=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

2m आणि m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2m-3n=-1 मधून 2m+2n=6 वजा करा.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

2m ते -2m जोडा. 2m आणि -2m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3n-2n=-1-6$$

-3n ते -2n जोडा.

$$-5n=-1-6$$

-1 ते -6 जोडा.

$$-5n=-7$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$n=\frac{7}{5}$$

m+n=3 मध्ये n साठी \frac{7}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{5} वजा करा.

$$m=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$