{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2bx+ay=2ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून ay वजा करा.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

दोन्ही बाजूंना 2b ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right) ला \frac{1}{2b} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी a-\frac{ay}{2b} चा विकल्प वापरा, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b} ला b वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2} ते -ay जोडा.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून ba वजा करा.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{3a}{2} ने विभागा.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a मध्ये y साठी -2b विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b ला -\frac{a}{2b} वेळा गुणाकार करा.

$$x=a+a$$

a ते a जोडा.

$$x=2a$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2a,y=-2b$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2a,y=-2b$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx आणि bx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना b ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2b ने गुणाकार करा.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

सरलीकृत करा.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2b^{2}x+aby=2ab^{2} मधून 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} वजा करा.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x ते -2b^{2}x जोडा. 2b^{2}x आणि -2b^{2}x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay ते 2bay जोडा.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2} ते -8ab^{2} जोडा.

$$3aby=-6ab^{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3ba ने विभागा.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab मध्ये y साठी -2b विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b ला -a वेळा गुणाकार करा.

$$bx+2ab=4ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2ba वजा करा.

$$bx=2ab$$

दोन्ही बाजूंना b ने विभागा.

$$x=2a$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2a,y=-2b$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2bx+ay=2ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून ay वजा करा.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

दोन्ही बाजूंना 2b ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right) ला \frac{1}{2b} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी a-\frac{ay}{2b} चा विकल्प वापरा, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b} ला b वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-\frac{ay}{2} ते -ay जोडा.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून ba वजा करा.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{3a}{2} ने विभागा.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a मध्ये y साठी -2b विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b ला -\frac{a}{2b} वेळा गुणाकार करा.

$$x=a+a$$

a ते a जोडा.

$$x=2a$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2a,y=-2b$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2a,y=-2b$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx आणि bx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना b ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2b ने गुणाकार करा.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

सरलीकृत करा.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2b^{2}x+aby=2ab^{2} मधून 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} वजा करा.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2b^{2}x ते -2b^{2}x जोडा. 2b^{2}x आणि -2b^{2}x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

bay ते 2bay जोडा.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2ab^{2} ते -8ab^{2} जोडा.

$$3aby=-6ab^{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3ba ने विभागा.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab मध्ये y साठी -2b विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b ला -a वेळा गुणाकार करा.

$$bx+2ab=4ab$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2ba वजा करा.

$$bx=2ab$$

दोन्ही बाजूंना b ने विभागा.

$$x=2a$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2a,y=-2b$$