{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Y साठी सोडवा

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला Y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 ला X+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8Y-4=9X+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9X वजा करा.

$$8Y-4-9X=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8Y-9X=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8Y-9X=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला X विलग करून, X साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4Y वजा करा.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

-4Y+\frac{5}{2} ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये X साठी -2Y+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-2Y+\frac{5}{4} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

18Y ते 8Y जोडा.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{45}{4} जोडा.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4} मध्ये Y साठी \frac{81}{104} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण X साठी थेट सोडवू शकता.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

\frac{81}{104} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{81}{52} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$X=-\frac{4}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला Y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 ला X+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8Y-4=9X+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9X वजा करा.

$$8Y-4-9X=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8Y-9X=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8Y-9X=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे X आणि Y घटक बाहेर काढा.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2} मिळविण्यासाठी \frac{1}{2} आणि 2 जोडा.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 8 ला Y-\frac{1}{2} ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

9 ला X+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5 मिळविण्यासाठी 9 मधून 4 वजा करा.

$$8Y-4=9X+5$$

दोन्ही बाजूंकडून 9X वजा करा.

$$8Y-4-9X=5$$

दोन्ही बाजूंना 4 जोडा.

$$8Y-9X=5+4$$

9 मिळविण्यासाठी 5 आणि 4 जोडा.

$$8Y-9X=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X आणि -9X समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -18X-36Y=-\frac{45}{2} मधून -18X+16Y=18 वजा करा.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18X ते 18X जोडा. -18X आणि 18X रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-36Y ते -16Y जोडा.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-\frac{45}{2} ते -18 जोडा.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -52 ने विभागा.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9 मध्ये Y साठी \frac{81}{104} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण X साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

\frac{81}{104} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{81}{13} वजा करा.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$X=-\frac{4}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$