{l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2} एकल अपूर्णांक म्हणून एक्सप्रेस करा.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ने दोन्ही बाजूना, \frac{1}{2} च्या व्युत्क्रम संख्येने गुणा.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$2x+8y=3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

-y+\frac{1}{4} ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} चा विकल्प वापरा, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

-\frac{y}{3}+\frac{1}{12} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

-\frac{2y}{3} ते 8y जोडा.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{6} वजा करा.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{22}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{17}{44}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12} मध्ये y साठी \frac{17}{44} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{17}{44} चा -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{12} ते -\frac{17}{132} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{1}{22}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2} एकल अपूर्णांक म्हणून एक्सप्रेस करा.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ने दोन्ही बाजूना, \frac{1}{2} च्या व्युत्क्रम संख्येने गुणा.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$2x+8y=3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2} एकल अपूर्णांक म्हणून एक्सप्रेस करा.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ने दोन्ही बाजूना, \frac{1}{2} च्या व्युत्क्रम संख्येने गुणा.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3 मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$2x+8y=3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+2y=\frac{1}{2} मधून 6x+24y=9 वजा करा.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

2y ते -24y जोडा.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

\frac{1}{2} ते -9 जोडा.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=\frac{17}{44}$$

2x+8y=3 मध्ये y साठी \frac{17}{44} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

\frac{17}{44} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{34}{11} वजा करा.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{22}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$