{l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$16x-10y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10y जोडा.

$$16x=10y+10$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

10+10y ला \frac{1}{16} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5+5y}{8} चा विकल्प वापरा, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

\frac{5+5y}{8} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y-5-6y=6$$

-5y ते -6y जोडा.

$$-11y-5=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$-11y=11$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

-1 ला \frac{5}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{8} ते -\frac{5}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

16x आणि -8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 16 ने गुणाकार करा.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -128x+80y=-80 मधून -128x-96y=96 वजा करा.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

-128x ते 128x जोडा. -128x आणि 128x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$80y+96y=-80-96$$

80y ते 96y जोडा.

$$176y=-80-96$$

-80 ते -96 जोडा.

$$176y=-176$$

दोन्ही बाजूंना 176 ने विभागा.

$$y=-1$$

-8x-6y=6 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

-1 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-8x+6=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-8x=0$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=-1$$