{l}{16p+5q=83}{12p+6q=51} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 16 p + 5 q = 83 } \\ { 12 p + 6 q = 51 } \end{array} \right.$$

p, q साठी सोडवा

$$p = \frac{27}{4} = 6\frac{3}{4} = 6.75$$

$$q=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला p विलग करून, p साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$16p+5q=83$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5q वजा करा.

$$16p=-5q+83$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$p=\frac{1}{16}\left(-5q+83\right)$$

-5q+83 ला \frac{1}{16} वेळा गुणाकार करा.

$$p=-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16}$$

इतर समीकरणामध्ये p साठी \frac{-5q+83}{16} चा विकल्प वापरा, 12p+6q=51.

$$12\left(-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16}\right)+6q=51$$

\frac{-5q+83}{16} ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{4}q+\frac{249}{4}+6q=51$$

-\frac{15q}{4} ते 6q जोडा.

$$\frac{9}{4}q+\frac{249}{4}=51$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{249}{4} वजा करा.

$$\frac{9}{4}q=-\frac{45}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{9}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$q=-5$$

p=-\frac{5}{16}q+\frac{83}{16} मध्ये q साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p=-\frac{5}{16}\left(-5\right)+\frac{83}{16}$$

-5 ला -\frac{5}{16} वेळा गुणाकार करा.

$$p=\frac{25+83}{16}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{83}{16} ते \frac{25}{16} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$p=\frac{27}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&5\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{16\times 6-5\times 12}&-\frac{5}{16\times 6-5\times 12}\\-\frac{12}{16\times 6-5\times 12}&\frac{16}{16\times 6-5\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{36}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\51\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 83-\frac{5}{36}\times 51\\-\frac{1}{3}\times 83+\frac{4}{9}\times 51\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{4}\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे p आणि q घटक बाहेर काढा.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$16p+5q=83,12p+6q=51$$

16p आणि 12p समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 16 ने गुणाकार करा.

$$12\times 16p+12\times 5q=12\times 83,16\times 12p+16\times 6q=16\times 51$$

सरलीकृत करा.

$$192p+60q=996,192p+96q=816$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 192p+60q=996 मधून 192p+96q=816 वजा करा.

$$192p-192p+60q-96q=996-816$$

192p ते -192p जोडा. 192p आणि -192p रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$60q-96q=996-816$$

60q ते -96q जोडा.

$$-36q=996-816$$

996 ते -816 जोडा.

$$-36q=180$$

दोन्ही बाजूंना -36 ने विभागा.

$$q=-5$$

12p+6q=51 मध्ये q साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$12p+6\left(-5\right)=51$$

-5 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$12p-30=51$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 30 जोडा.

$$12p=81$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$p=\frac{27}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=\frac{27}{4},q=-5$$