{l}{15x-40y=100}{-15x+18y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x - 40 y = 100 } \\ { - 15 x + 18 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{76}{11} = -6\frac{10}{11} \approx -6.909090909$$

$$y = -\frac{56}{11} = -5\frac{1}{11} \approx -5.090909091$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$15x-40y=100,-15x+18y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$15x-40y=100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 40y जोडा.

$$15x=40y+100$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{15}\left(40y+100\right)$$

40y+100 ला \frac{1}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{3}y+\frac{20}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y+20}{3} चा विकल्प वापरा, -15x+18y=12.

$$-15\left(\frac{8}{3}y+\frac{20}{3}\right)+18y=12$$

\frac{8y+20}{3} ला -15 वेळा गुणाकार करा.

$$-40y-100+18y=12$$

-40y ते 18y जोडा.

$$-22y-100=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 100 जोडा.

$$-22y=112$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=-\frac{56}{11}$$

x=\frac{8}{3}y+\frac{20}{3} मध्ये y साठी -\frac{56}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{56}{11}\right)+\frac{20}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{56}{11} चा \frac{8}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{448}{33}+\frac{20}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{20}{3} ते -\frac{448}{33} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{76}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{76}{11},y=-\frac{56}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$15x-40y=100,-15x+18y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-40\\-15&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{15\times 18-\left(-40\left(-15\right)\right)}&-\frac{-40}{15\times 18-\left(-40\left(-15\right)\right)}\\-\frac{-15}{15\times 18-\left(-40\left(-15\right)\right)}&\frac{15}{15\times 18-\left(-40\left(-15\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{55}&-\frac{4}{33}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{55}\times 100-\frac{4}{33}\times 12\\-\frac{1}{22}\times 100-\frac{1}{22}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{76}{11}\\-\frac{56}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{76}{11},y=-\frac{56}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$15x-40y=100,-15x+18y=12$$

15x आणि -15x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -15 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 15 ने गुणाकार करा.

$$-15\times 15x-15\left(-40\right)y=-15\times 100,15\left(-15\right)x+15\times 18y=15\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$-225x+600y=-1500,-225x+270y=180$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -225x+600y=-1500 मधून -225x+270y=180 वजा करा.

$$-225x+225x+600y-270y=-1500-180$$

-225x ते 225x जोडा. -225x आणि 225x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$600y-270y=-1500-180$$

600y ते -270y जोडा.

$$330y=-1500-180$$

-1500 ते -180 जोडा.

$$330y=-1680$$

दोन्ही बाजूंना 330 ने विभागा.

$$y=-\frac{56}{11}$$

-15x+18y=12 मध्ये y साठी -\frac{56}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-15x+18\left(-\frac{56}{11}\right)=12$$

-\frac{56}{11} ला 18 वेळा गुणाकार करा.

$$-15x-\frac{1008}{11}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1008}{11} जोडा.

$$-15x=\frac{1140}{11}$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$x=-\frac{76}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{76}{11},y=-\frac{56}{11}$$