{l}{15x+17y=21-1/11}{17x+15y=11-11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 17 y = 21 - \frac { 1 } { 11 } } \\ { 17 x + 15 y = 11 - 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{1725}{352} = -4\frac{317}{352} \approx -4.900568182$$

$$y = \frac{1955}{352} = 5\frac{195}{352} \approx 5.553977273$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$15x+17y=\frac{230}{11},17x+15y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$15x+17y=\frac{230}{11}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 17y वजा करा.

$$15x=-17y+\frac{230}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{15}\left(-17y+\frac{230}{11}\right)$$

-17y+\frac{230}{11} ला \frac{1}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{17}{15}y+\frac{46}{33}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{17y}{15}+\frac{46}{33} चा विकल्प वापरा, 17x+15y=0.

$$17\left(-\frac{17}{15}y+\frac{46}{33}\right)+15y=0$$

-\frac{17y}{15}+\frac{46}{33} ला 17 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{289}{15}y+\frac{782}{33}+15y=0$$

-\frac{289y}{15} ते 15y जोडा.

$$-\frac{64}{15}y+\frac{782}{33}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{782}{33} वजा करा.

$$-\frac{64}{15}y=-\frac{782}{33}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{64}{15} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{1955}{352}$$

x=-\frac{17}{15}y+\frac{46}{33} मध्ये y साठी \frac{1955}{352} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{17}{15}\times \frac{1955}{352}+\frac{46}{33}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1955}{352} चा -\frac{17}{15} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{6647}{1056}+\frac{46}{33}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{46}{33} ते -\frac{6647}{1056} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{1725}{352}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1725}{352},y=\frac{1955}{352}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$15x+17y=\frac{230}{11},17x+15y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&17\\17&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15\times 15-17\times 17}&-\frac{17}{15\times 15-17\times 17}\\-\frac{17}{15\times 15-17\times 17}&\frac{15}{15\times 15-17\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{64}&\frac{17}{64}\\\frac{17}{64}&-\frac{15}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{230}{11}\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{64}\times \frac{230}{11}\\\frac{17}{64}\times \frac{230}{11}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1725}{352}\\\frac{1955}{352}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1725}{352},y=\frac{1955}{352}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$15x+17y=\frac{230}{11},17x+15y=0$$

15x आणि 17x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 17 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 15 ने गुणाकार करा.

$$17\times 15x+17\times 17y=17\times \frac{230}{11},15\times 17x+15\times 15y=0$$

सरलीकृत करा.

$$255x+289y=\frac{3910}{11},255x+225y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 255x+289y=\frac{3910}{11} मधून 255x+225y=0 वजा करा.

$$255x-255x+289y-225y=\frac{3910}{11}$$

255x ते -255x जोडा. 255x आणि -255x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$289y-225y=\frac{3910}{11}$$

289y ते -225y जोडा.

$$64y=\frac{3910}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 64 ने विभागा.

$$y=\frac{1955}{352}$$

17x+15y=0 मध्ये y साठी \frac{1955}{352} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$17x+15\times \frac{1955}{352}=0$$

\frac{1955}{352} ला 15 वेळा गुणाकार करा.

$$17x+\frac{29325}{352}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{29325}{352} वजा करा.

$$17x=-\frac{29325}{352}$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$x=-\frac{1725}{352}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1725}{352},y=\frac{1955}{352}$$