{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$15x+107y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 107y वजा करा.

$$15x=-107y+1$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

-107y+1 ला \frac{1}{15} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-107y+1}{15} चा विकल्प वापरा, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

\frac{-107y+1}{15} ला 71 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

-\frac{7597y}{15} ते 179y जोडा.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{71}{15} वजा करा.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4912}{15} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{547}{614}$$

x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15} मध्ये y साठी \frac{547}{614} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{547}{614} चा -\frac{107}{15} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{15} ते -\frac{58529}{9210} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x आणि 71x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 71 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 15 ने गुणाकार करा.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

सरलीकृत करा.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 1065x+7597y=71 मधून 1065x+2685y=-4305 वजा करा.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

1065x ते -1065x जोडा. 1065x आणि -1065x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7597y-2685y=71+4305$$

7597y ते -2685y जोडा.

$$4912y=71+4305$$

71 ते 4305 जोडा.

$$4912y=4376$$

दोन्ही बाजूंना 4912 ने विभागा.

$$y=\frac{547}{614}$$

71x+179y=-287 मध्ये y साठी \frac{547}{614} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

\frac{547}{614} ला 179 वेळा गुणाकार करा.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{97913}{614} वजा करा.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

दोन्ही बाजूंना 71 ने विभागा.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$