{l}{13x-6y=22}{x=y+6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x - 6 y = 22 } \\ { x = y + 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=-8$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=6$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$13x-6y=22,x-y=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$13x-6y=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6y जोडा.

$$13x=6y+22$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{13}\left(6y+22\right)$$

6y+22 ला \frac{1}{13} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6}{13}y+\frac{22}{13}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{6y+22}{13} चा विकल्प वापरा, x-y=6.

$$\frac{6}{13}y+\frac{22}{13}-y=6$$

\frac{6y}{13} ते -y जोडा.

$$-\frac{7}{13}y+\frac{22}{13}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{22}{13} वजा करा.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{56}{13}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{13} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-8$$

x=\frac{6}{13}y+\frac{22}{13} मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{6}{13}\left(-8\right)+\frac{22}{13}$$

-8 ला \frac{6}{13} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-48+22}{13}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{22}{13} ते -\frac{48}{13} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=6$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$13x-6y=22,x-y=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{13\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{13\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{13}{13\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{6}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 22-\frac{6}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{13}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=-8$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=6$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$13x-6y=22,x-y=6$$

13x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 13 ने गुणाकार करा.

$$13x-6y=22,13x+13\left(-1\right)y=13\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$13x-6y=22,13x-13y=78$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 13x-6y=22 मधून 13x-13y=78 वजा करा.

$$13x-13x-6y+13y=22-78$$

13x ते -13x जोडा. 13x आणि -13x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y+13y=22-78$$

-6y ते 13y जोडा.

$$7y=22-78$$

22 ते -78 जोडा.

$$7y=-56$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=-8$$

x-y=6 मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\left(-8\right)=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-8$$