{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$13x+20y=48$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20y वजा करा.

$$13x=-20y+48$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

-20y+48 ला \frac{1}{13} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-20y+48}{13} चा विकल्प वापरा, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

\frac{-20y+48}{13} ला 20 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

-\frac{400y}{13} ते 93y जोडा.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{960}{13} वजा करा.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{809}{13} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} मध्ये y साठी -\frac{947}{809} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{947}{809} चा -\frac{20}{13} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{48}{13} ते \frac{18940}{10517} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{4444}{809}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x आणि 20x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 20 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 13 ने गुणाकार करा.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

सरलीकृत करा.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 260x+400y=960 मधून 260x+1209y=13 वजा करा.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

260x ते -260x जोडा. 260x आणि -260x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$400y-1209y=960-13$$

400y ते -1209y जोडा.

$$-809y=960-13$$

960 ते -13 जोडा.

$$-809y=947$$

दोन्ही बाजूंना -809 ने विभागा.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1 मध्ये y साठी -\frac{947}{809} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

-\frac{947}{809} ला 93 वेळा गुणाकार करा.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{88071}{809} जोडा.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$x=\frac{4444}{809}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$