{l}{12x+4y=6}{9x+16y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$12x+4y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$12x=-4y+6$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

-4y+6 ला \frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} चा विकल्प वापरा, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

-\frac{y}{3}+\frac{1}{2} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

-3y ते 16y जोडा.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$13y=\frac{7}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} मध्ये y साठी \frac{7}{26} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{7}{26} चा -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते -\frac{7}{78} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{16}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x आणि 9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने गुणाकार करा.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 108x+36y=54 मधून 108x+192y=96 वजा करा.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

108x ते -108x जोडा. 108x आणि -108x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36y-192y=54-96$$

36y ते -192y जोडा.

$$-156y=54-96$$

54 ते -96 जोडा.

$$-156y=-42$$

दोन्ही बाजूंना -156 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 मध्ये y साठी \frac{7}{26} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

\frac{7}{26} ला 16 वेळा गुणाकार करा.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{56}{13} वजा करा.

$$9x=\frac{48}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{16}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$