{l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=-1$$

$$b=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$12a+4b=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4b वजा करा.

$$12a=-4b-4$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

-4b-4 ला \frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{-b-1}{3} चा विकल्प वापरा, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

\frac{-b-1}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-b-1-9b=-21$$

-b ते -9b जोडा.

$$-10b-1=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$-10b=-20$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} मध्ये b साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

2 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{3} ते -\frac{2}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-1,b=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=-1,b=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a आणि 3a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने गुणाकार करा.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

सरलीकृत करा.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 36a+12b=-12 मधून 36a-108b=-252 वजा करा.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

36a ते -36a जोडा. 36a आणि -36a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12b+108b=-12+252$$

12b ते 108b जोडा.

$$120b=-12+252$$

-12 ते 252 जोडा.

$$120b=240$$

दोन्ही बाजूंना 120 ने विभागा.

$$b=2$$

3a-9b=-21 मध्ये b साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$3a-9\times 2=-21$$

2 ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$3a-18=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$3a=-3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$a=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-1,b=2$$