{l}{1x+4y=280}{4x+1y=124} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+4y=280$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$x=-4y+280$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -4y+280 चा विकल्प वापरा, 4x+y=124.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

-4y+280 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-16y+1120+y=124$$

-16y ते y जोडा.

$$-15y+1120=124$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1120 वजा करा.

$$-15y=-996$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=\frac{332}{5}$$

x=-4y+280 मध्ये y साठी \frac{332}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

\frac{332}{5} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

280 ते -\frac{1328}{5} जोडा.

$$x=\frac{72}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

सरलीकृत करा.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+16y=1120 मधून 4x+y=124 वजा करा.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y-y=1120-124$$

16y ते -y जोडा.

$$15y=1120-124$$

1120 ते -124 जोडा.

$$15y=996$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=\frac{332}{5}$$

4x+y=124 मध्ये y साठी \frac{332}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{332}{5} वजा करा.

$$4x=\frac{288}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{72}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$