{l}{1=2r-3s}{4=3r+2s} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

r, s साठी सोडवा

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2r-3s=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3r+2s=4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला r विलग करून, r साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2r-3s=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3s जोडा.

$$2r=3s+1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

3s+1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये r साठी \frac{3s+1}{2} चा विकल्प वापरा, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

\frac{3s+1}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

\frac{9s}{2} ते 2s जोडा.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{2} वजा करा.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$s=\frac{5}{13}$$

r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2} मध्ये s साठी \frac{5}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण r साठी थेट सोडवू शकता.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{13} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{2} ते \frac{15}{26} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$r=\frac{14}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2r-3s=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3r+2s=4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे r आणि s घटक बाहेर काढा.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$2r-3s=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$3r+2s=4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

2r आणि 3r समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6r-9s=3 मधून 6r+4s=8 वजा करा.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

6r ते -6r जोडा. 6r आणि -6r रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9s-4s=3-8$$

-9s ते -4s जोडा.

$$-13s=3-8$$

3 ते -8 जोडा.

$$-13s=-5$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$s=\frac{5}{13}$$

3r+2s=4 मध्ये s साठी \frac{5}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण r साठी थेट सोडवू शकता.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

\frac{5}{13} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{10}{13} वजा करा.

$$3r=\frac{42}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$r=\frac{14}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$